The m - Cover Posets and the Strip - Decomposition of m - Dyck Paths ( Extended

In the first part of this article we present a realization of the m-Tamari lattice T (m) n in terms of m-tuples of Dyck paths of height n, equipped with componentwise rotation order. For that, we define the m-cover poset P〈m〉 of an arbitrary bounded poset P , and show that the smallest lattice completion of the m-cover poset of the Tamari lattice Tn is isomorphic to the m-Tamari lattice T (m) n . A crucial tool for the proof of this isomorphism is a decomposition of m-Dyck paths into m-tuples of classical Dyck paths, which we call the strip-decomposition. Subsequently, we characterize the cases where the m-cover poset of an arbitrary poset is a lattice. Finally, we show that the m-cover poset of the Cambrian lattice of the dihedral group is a trim lattice with cardinality equal to the generalized FussCatalan number of the dihedral group. Résumé. Dans la première partie de cet article nous présentons une réalisation du treillis m-Tamari T (m) n à l’aide de m-uplets de chemins de Dyck de hauteur n, équipés de l’ordre de rotation composante par composante. Pour cela, nous définissons le poset de m-couverture P〈m〉 d’un poset borné quelconque P , et montrons que la plus petite complétion en treillis du poset de m-couverture du treillis de Tamari Tn est isomorphe au treillis m-Tamari T (m) n . Un outil crucial pour la preuve de cet isomorphisme est une décomposition des chemins m-Dyck en m-uplets de chemins de Dyck usuels, que nous appelons la décomposition en bandes. Par la suite, nous caractérisons les cas où le poset de m-couverture d’un poset donné est un treillis. Enfin nous montrons que le poset de m-couverture du treillis Cambrien du groupe diédral est un treillis svelte de cardinalité le nombre généralisé de Fuss-Catalan du groupe diédral.